注意这个式子 \ \displaystyle\int_{a}^{b}{f[g(x)]g'(x)\mathrm{d}x}=\int_{a}^{b}{f[g(x)]\mathrm{d}g(x)}\ ，积分上下限 \ a,b\ 并没有改变。

而我们知道，定积分换元时，却应该改变对应上下限，那么，有什么区别呢？

举例说明：

解法1:

\begin{aligned} \int_{0}^{\pi / 2}{\sin x\cos x\mathrm{d}x} &= \int_{0}^{\pi / 2}{\sin x\mathrm{d}(\sin x)}\\ & = \frac{\sin^2x}{2}\Bigg|_{0}^{\pi /2}=\frac{1}{2} \end{aligned}

解法2:

\begin{aligned} \int_{0}^{\pi / 2}{\sin x\cos x\mathrm{d}x} &= \int_{0}^{\pi / 2}{\sin x\mathrm{d}(\sin x)}\overset{t=\sin x}{=} \int_{t=\sin 0}^{t=\sin(\pi /2)}{t\mathrm{d}t}\\ & = \frac{t^2}{2}\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{2} \end{aligned}

通过解法1，2的对比，可以看出，如果 \ \displaystyle\int_{a}^{b}{f[g(x)]\mathrm{d}\square}\ 中 \ \mathrm{d}\square\ 方框里的内容还是用 \ x\ 表示的 \ \varphi(x)\ 的话，积分上下限保持不变。

只有我们将 \ \varphi(x)=t\ 赋予为新变量后，对应的上下限才要相应改变，因为这时积分中的被积函数 \ f[g(x)]\ 也被改写了， \ f[g(x)]\ 与改写后的 \ f(t)\ 不是同一个函数。（比如： \ \sin^2 x+3\sin x\ 与 \ t^2+3t\ 的关系）

（题目节选）设 \ \displaystyle\varphi(x)=\int_{0}^{1}f’[1+(x-1)t]\mathrm{d}t\ ，简化表达式。

\begin{aligned} \varphi(x) &=\int_{0}^{1}f’[1+(x-1)t]\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{x-1}\int_{0}^{1}{f’[1+(x-1)t] (x-1)\mathrm{d}t} \\ &=\frac{1}{x-1}\int_{0}^{1}f’[g(x)]g’(x)\mathrm{d}t=\frac{1}{x-1}\int_{0}^{1}f’[g(x)]\mathrm{d}g(x) \\ &= \int_{1}^{x}f’(u)\mathrm{d}u=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ \end{aligned}